De opgave wordt een stuk makkelijker door poolcoördinaten te gebruiken. We voeren even een derde coördinaat $z$ in en drukken de kromme uit in $x$ en $z$ door $z^2=x^2-x^3$. Als de die om de $z$-as (die staat loodrecht op het $xy$-vlak) draaien. Je krijgt dan dit:
De vergelijking van het oppervlak is dan $z^2=(x^2+y^2)-(x^2+y^2)^{\frac32}$, en in poolcoördinaten wordt dat $z^2=r^2-r^3$ (want $x=r\cos\theta$, en $y=r\sin\theta$).
In de beschrijving loopt $\theta$ helemaal rond: $0\le\theta\le2\pi$, en voor $r$ geldt $0\le r\le1$, en voor $z$ komt er $-\sqrt{r^2-r^3}\le z\le\sqrt{r^2-r^3}$.
De inhoud van het wentellichaam wordt dan
$$
2\pi\cdot\int_0^12\sqrt{r^2-r^3}\cdot r\,\mathrm{d}r
$$
Omdat $r$ positief is kun je er deze integraal van maken: $4\pi\int_0^1r^2\sqrt{1-r}\,\mathrm{d}r$ en die levert inderdaad het antwoord dat je noemt.
kphart
22-2-2025