WisFaq!

Wentelen om y-as van een NIET-functie

Geachte,graag uw hulp.
De opgave is deze: bereken de inhoud van het omwentelingslichaam rond de y-as van het ingesloten gebied bij y²= x²-x³
Ik begrijp dat de grafiek bestaat uit 2 takken: y=+/- $\sqrt{}$ (x²-x³)
Bij de pluswortel heb ik de top bepaald. Die zit bij x=2/3 en de bijbehorende y-waarde = $\sqrt{}$ (4/27). Maar verder kom ik eigenlijk niet. Ik zie echt niet hoe ik die 2 ' halve cirkeltjes ' kan wentelen om de x-as.
Ik begrijp ook dat ik de formule onder de integraal x²=y²-y³ moet gebruiken.
Maar hoe? Welke grenzen???

Bij voorbaat dank voor uw antwoord.

Dian
20-2-2025

Antwoord

Je begin met wentelen om de $y$-as, en later wil je om de $x$-as draaien. En omdat je $y=\pm\sqrt{x^2-x^3}$ schrijft denk ik dat het om de $x$-as moet. Kijk naar het plaatje

Als je die kromme om de $x$-as wentelt krijg je hetzelfde lichaam als wanneer je alleen de bovenkant wentelt. Maar dan is het makkelijk want je moet het kwadraat van de wortel integreren en er komt gewoon
$$
\pi\int_0^1 x^2-x^3\,\mathrm{d}x
$$

Een andere reden waarom ik denk dat er niet om de $y$-as gewenteld zal worden is dat je dan $x$ (of $x^2$) in $y$ moet uitdrukken; dat kan met behulp van de formules van Cardano, maar die geven niet echt een mooie uitdrukking om te integreren:
$$
x=\frac13+\frac16\sqrt[3]{8-108y^2+12\sqrt{81y^4-12y^2}}+ \frac16\sqrt[3]{8-108y^2-12\sqrt{81y^4-12y^2}}
$$
En dat beschrijft alleen nog maar het rechterstuk van de `waterdruppel', voor $x$ tussen $\frac23$ en $1$.

kphart
21-2-2025