WisFaq!

Lemniscaat

Een kromme wordt gegeven door de vergelijking in poolcoördinaten:

r= $\sqrt{}$cos(2$\theta$)).

Ik heb deze vergelijking kunnen omvormen naar de cartesische vorm:

x²+y²=$\sqrt{}$(x²-y²).

Maar weet niet hoe je de punten met een horizontale raaklijn en de punten met een verticale raaklijn hiervan zoekt? Via grafische weg denk ik dat de kromme eruitziet als een oneindig teken door de oorsprong?
Alvast veel dank,

Marc
1-1-2024

Antwoord

Het kan op twee manieren: impliciet differentiëren of de parametrisering gebruiken.

Om met de tweede te beginnen: we hebben
$x(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\cos\theta$ en
$y(\theta)=\sqrt{\cos2\theta}\cdot\sin\theta$.
Voor een horizontale raaklijn moet gelden $y'(\theta)=0$ en voor een verticale
hebben we $x'(\theta)=0$ nodig.
Met wat volhouden vind je
$$x'(\theta)=\frac{(\sin^2\theta-3\cos^2\theta)\sin\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$en
$$y'(\theta)=\frac{(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\cos\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}
$$Als je $x'(\theta)=0$ oplost krijg je $\sin\theta=0$
of $\sin^2\theta=3\cos^2\theta$. De laatste leidt tot punten
met $x^2-y^2=x^2-3y^2$ en dat is negatief en valt dus af; blijft over
$\sin\theta=0$ en dus $y=0$. Stop dat in $x^2+y^2=\sqrt{x^2-y^2}$.

Uit $y'(\theta)=0$ haal je $\cos\theta=0$ (dus $x=0$) of
$\cos^2\theta=3\sin^2\theta$, dat geeft $\tan\theta=\pm\frac1{\sqrt3}$,
met bekende hoeken $\pm\frac\pi6$ en $\pm\frac{5\pi}6$.
Invullen geeft de gezochte punten.
Alternatief: dit geeft ook $x^2=3y^2$, stop dat weer in de vergelijking en los
op naar $y$ of $x$.

Het tweede doet alsof $y$ een functie van $x$ is (of andersom)
en differentieert dan.
Eerst even kwadrateren: $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$.
Differentieer naar $x$:
$$2(x^2+y^2)\cdot(2x+2y\cdot y')=2x-2y\cdot y'
$$omwerken geeft
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x(1-2(x^2+y^2))}{y(1+2(x^2+y^2))}
$$Evenzo
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{y(1+2(x^2+y^2))}{x(1-2(x^2+y^2))}
$$Door $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ te stellen vind je $x=0$
of $x^2+y^2=\frac12$ en beide kun je in de vergelijking stoppen met resultaten
$y^4=-y^2$, en $x^2-y^2=\frac14$.

En $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=0$ geeft alleen $y=0$.

Zie ook Lemniscaten in Pythagoras.

kphart
1-1-2024