WisFaq!

Wiskunde D: Matrices op langte termijn

1. (4 punten) In een stad zijn er drie supermarkten, aangeduid met X, Y en Z. Alle inwoners blijven elke maand in hun stad winkelen. Het aantal inwoners blijft constant. Aanvankelijk gaan 50 000 mensen naar supermarkt X en evenveel naar supermarkt Z, terwijl niemand naar supermarkt Y gaat.

We zien maandelijks de volgende situatie. Van winkel X blijft 30% van de klanten bij zijn supermarkt, voor winkel Y is dit 80% en voor winkel Z 20% . Geen enkele klant gaat ooit van winkel X naar winkel Y, maar van winkel Y gaat wel 20% naar winkel X. Er gaat 60% van de klanten van Z naar winkel X.

(b) Er bleek een fout geslopen in de observaties van het klantenverloop. Er werd een nieuw model opgesteld voor dezelfde stad met dezelfde beginvoorwaarden maar met onderstaande overgangsmatrix.

(0.85 0.05 0.10)
(0.15 0.95 0.15)
( 0 0 0.75)

Wat is dan op de lange termijn de favoriete supermarkt van de inwoners van de stad?
Geef het bijhorend aantal klanten..

Vraag: Mijn idee was om van deze matrix de eigenvectoren te bepalen, zodat ik een QDQ^-1-berekening kon doen met D^groot getal. Ofwel een beetje het limiet te berekenen. Ik heb hiervan echter de eigenwaarden al van berekend, en ze komen uit op nogal moelijke getallen.

Ik vraag me dus af of dit wel de juiste methode is om de vraag te benaderen, of dat ik eerder een andere methode moet gebruiken.

Kan iemand mij alsjeblieft helpen? Alvast veel dank!

Mvg,
Linh

Linh
24-12-2023

Antwoord

Voor de stabiele verdeling [a,b,c] kun je schrijven:



Oplossen geeft:



Je weet dat a+b gelijk is aan 100.000 en dat geeft dan je oplossing.

Helpt dat?

WvR
24-12-2023