WisFaq!

Canonieke vergelijking ellips bepalen mbv 2 raaklijnen

Beste

Ik weet niet goed hoe ik deze oefening moet oplossen:
Bepaal de canonieke vergelijking van ellips e waarvan r₁ $\leftrightarrow$ y = 4 - 2x en r₂ $\leftrightarrow$ y = x + 3 de ellips raken.

Kan iemand hierbij helpen?

Met vriendelijke groeten

Anneleen
22-10-2023

Antwoord

Ik begrijp de oefening, zoals die op deze manier gesteld is, ook niet.
Er zijn oneindig veel ellipsen die beide lijnen raken en daaronder ook nog oneindig veel cirkels.

Heeft de term `canonieke vergelijking' misschien nog een speciale betekenis in je boek waardoor er nog maar één mogelijke ellips overblijft?

Toevoeging: gezien het antwoord op deze vraag denk ik dat je de ellips zoekt die een vergelijking van deze vorm heeft:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
$$Je moet $a$ en $b$ dus zo bepalen dat de twee lijnen de ellips raken. Dan moeten ze deze dus zeker snijden. En dat snijden moet zo gebeuren dat er één snijpunt is, of beter: twee samenvallende snijpunten. Als je de ellips met de twee lijnen snijdt krijg je twee vergelijkingen, door $y=4-2x$ en $y=x+3$ in te vullen:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(4-2x)^2}{b^2}=1
$$en
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(3+x)^2}{b^2}=1
$$of na vermenigvuldiging met $a^2b^2$:
$$b^2x^2+a^2(4-2x)^2=a^2b^2
$$en
$$b^2x^2+a^2(3+x)^2=a^2b^2
$$Dat zijn twee kwadratische vergelijkingen die elk dus één oplossing moeten hebben. Als je ze netjes uitwerkt kun je hun discriminanten opschrijven, en die moeten gelijk aan nul zijn. Je krijgt
$$b^2(4a^2+b^2-16)=0 \text{ en }b^2(a^2+b^2-9)=0
$$De enige niet-flauwe oplossing heeft $a^2=\frac73$ en $b^2=\frac{20}3$.

kphart
23-10-2023