WisFaq!

Integralen van irrationale functies

Hallo, ik heb een vraag over een integraal,

Integraal(1/sqrt((9-4x²)³). Ik splits eerst de derde macht onder de vierkantswortel op door er sqrt(9-4x²) ˇ (9-4x²).
Ik gebruik hiervoor de goniometrische driehoek met sqrt(a²-u²)
en dan doe ik:
2x= 3ˇsin t
x=3/2 ˇsin t
dx = 3/2 ˇ cos t dt
cos t ˇ 3 = sqrt(9-4x²)
dan vervang ik alles in de integraal en bekom ik 2x/54 + constante
maar dit is fout

Kunt u mij helpen?
Alvast bedankt

Amélie
11-6-2023

Antwoord

Je plaatje kwam niet goed door maar de omzettingen zijn goed, je krijgt uiteindelijk
$$\int\frac1{(9-4x^2)^{\frac32}}\mathrm{d}x=\int\frac1{18}\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t
=\frac1{18}\tan t+C = \frac1{18}\cdot\frac{2x}{\sqrt{9-4x^2}}+C
$$En dat geeft $\eqalign{\frac{x}{9\sqrt{9-4x^2}}+C}$.
Misschien heb je niet de goede primitieve van $1/\cos^2t$ genomen?

kphart
12-6-2023