WisFaq!

Determinant lege oplossingsverzameling

geachte heer,

Ik probeer uit een stelsel vergelijkingen een onbekende variabele te berekenen, waarbij de oplossingsverzameling leeg is.
Hoe kan ik deze variabele bepalen d.m.v.determinanten, en wanneer bevat een stelsel vergelijkingen geen, een of oneindig aantal elementen m.b.v.determinanten ?

(p+1)x - 2y = 1
2x - (p-1) = -p²
Voor welke p is de oplossingsverzameling leeg ?

Ik heb de determinant bepaalt en aangevulde determinant, maar kwam daarna er niet uit...Radjan

p+1 -2
2 -p+1

Radjan
9-5-2023

Antwoord

Het lijkt of je de termen matrix en determinant door elkaar haalt.
Voor alle duidelijkheid
$$\begin{pmatrix}p+1&-2\\2 &-(p-1)\end{pmatrix}
$$is de coëfficiëntenmatrix van het stelsel en
$$\begin{pmatrix}p+1&-2&1\\2 &-(p-1)&-p^2\end{pmatrix}
$$is de aangevulde matrix
De eerste matrix heeft een determinant, dat is een getal:
$$\left|\begin{matrix}p+1&-2\\2 &-(p-1)\end{matrix}\right|=(p+1)\cdot(-p+1)-2\cdot-2=-p^2+5
$$de tweede matrix is niet vierkant en heeft geen determinant.

Als de determinant van de coëfficiëntenmatrix gelijk aan $0$ is dan heeft het stelsel nul oplossingen of oneindig veel: de twee vergelijkingen bepalen dat lijnen die parallel zijn (geen oplossing) of samenvallen (oneindig veel).

De determinant is gelijk aan $0$ voor $p=\sqrt5$ en voor $p=-\sqrt5$.
Voor die twee waarden moet je de stelsels apart bekijken om te zien of ze nul of oneindig veel oplossingen hebben.

kphart
9-5-2023