WisFaq!

Matrices

Geachte,
Kunt u mij helpen?
Er is een 3 x 3 matrix gegeven met op de hoofddiagonaal a+1, a+1, a+1.
De andere waarden zijn allemaal '1'.
De bijbehorende kolommatrix is (van boven naar beneden): a+1, a+3, -2a-4.
De vraag is: Bepaal de waarde(n) van de reële parameter a, zodat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft. (het antwoord is: a=-3)

Om hier inzicht in te krijgen heb ik de coëfficiëntenmatrix schoongeveegd, met op de hoofddiagonaal 3 x 1 en de rest nullen. De kolommatrix ziet er dan heel erg 'onvriendelijk' uit, met hier en daar breuken met a kwadraat en a tot de derde macht in de teller en noemer.... kortom ik kan hier niks mee en ik weet trouwens ook niet hoe ik verder moet.
Is mijn manier van schoonvegen misschien verkeerd??

Uw hulp zou mij zeer welkom zijn.

Alvast bedankt,
Arnout

Arnout
9-2-2023

Antwoord

Bij het vegen heb je waarschijnlijk een paar keer door een uitdrukking met $a$ erin gedeeld; dat is niet handig, die uitdrukking kan gelijk aan $0$ zijn en dan raak je oplossingen kwijt.
Iets handiger:
$$\left(
\begin{matrix} a+1&1&1&|&a+1\\ 1&a+1&1&|&a+3\\ 1&1&a+1&|&-2a+4\end{matrix}
\right) \longleftarrow
\left(
\begin{matrix} a+1&1&1&|&a+1\\ 1&a+1&1&|&a+3\\ a+3&a+3&a+3&|&0\end{matrix}
\right)
$$Nu moet je twee gevallen onderscheiden: $a=-3$ en $a\neq-3$.
In het eerste geval laat je de rij met nullen weg en krijg je
$$\left(
\begin{matrix} -2&1&1&|&-2\\ 1&-2&1&|&0\end{matrix}
\right)
$$In het tweede geval kun je de derde rij veilig door $a+3$ delen
met als resultaat
$$\left(
\begin{matrix} a+1&1&1&|&a+1\\ 1&a+1&1&|&a+3\\ 1&1&1&|&0\end{matrix}
\right)
$$Trek de onderste rij van de andere af en je ziet dat je nog $a=0$ en $a\neq0$ moet onderscheiden.

kphart
9-2-2023