WisFaq!

Norm operator Hilbert ruimte

Beste

Zij H een Hilbert ruimte, neem y en z vast willekeurig. Defineer de operator $T(x)= \langle x,z \rangle y$. Vraag: Bepaal $\|T\|$.

Mijn poging: $\|T(x)\|=(\langle Tx,Tx\rangle)^{\frac12}=|\langle x,z\rangle|\cdot\|y\|$. Nu dacht ik gebruik te maken van Cauchy-Schwarz, waaruit ik krijg dat $\|T\|=\|z\|\cdot\|y\|$ indien $x$ en $z$ linear afhankelijk zijn, anders in het algemeen $\|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|$. Nu ik vermoed dat $\|T\|=\|z\|\cdot\|y\|$. Maar weet niet hoe ik dit kan concluderen. Alvast Bedankt!

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
26-12-2022

Antwoord

Inderdaad: $\|Tx\|=|\langle x,z\rangle|\cdot\|y\|$, met Cauchy-Schwarz volgt dan
$$\|Tx\|=|\langle x,z\rangle|\|y\| \le \|x\|\cdot\|z\|\cdot\|y\| = \bigl(\|z\|\cdot\|y\|\bigr)\cdot\|x\|
$$dit geldt voor alle $x$, dus volgens de definitie van de operatornorm (zoek maar op) volgt dan $\|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|$.

Verder: $\|Tz\|=\langle z,z\rangle\|y\|=\|z\|\cdot\bigl(\|z\|\cdot\|y\|\bigr)$, en dat geeft dan $\|T\|\ge \|z\|\cdot\|y\|$.

De kern van je verhaal was goed, je conclusies niet helemaal: als $x$ en $z$ afhankelijk zijn kun je niet concluderen dat meteen geldt $\|T\|=|z\|\cdot\|y\|$, maar alleen, zoals hierboven dat $\|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|$ (pas de definitie van de operatornorm maar toe).

kphart
27-12-2022