WisFaq!

Lineaire differentiaaloperator

f(x) = 2·e^-2x+x·e^3x +5x·e^3x -3·e^-x·sin(2x)-10

bepaal de eenvoudigste vorm voor L, de homogene lineaire differentiaaloperator met constante coëfficiënten zodat Lf=0

Ik weet niet hoe hieraan te beginnen

Timmy Van Epperzeel
5-3-2022

Antwoord

Je hebt als het goed is het omgekeerde probleem wel gezien: hoe een lineaire homogene differentiaalvergelijking op te lossen. Dat gaat door $e^{rx}$ in te vullen en dan een polynoomvergelijking te vinden waar $r$ aan moet voldoen.
Bijvoorbeeld
$$y''' -2y''+3y'-y=0
$$geeft na invulling $e^{rx}(r^3-2r^2+3r-1)=0$.

Als je het verband tussen de oplossingen van die vergelijking en de gedaante van de oplossing goed begrijpt kun je aan $f$ zien wat de oplossingen van die, nog onbekende, vergelijking zijn de constanten in de exponenten: $-2$, $3$, $-1+2i$ en $-1-2i$, en $0$.
Verder is $3$ een dubbele oplossing want in de oplossing zien we $xe^{3x}$.
De minimale vergelijking die deze nulpunten heeft is dus
$$(r+2)(r-3)^2(r+1-2i)(r+1+2i)(r-0)=0
$$Daaruit moet je de differentiaalvergelijking kunnen reconstrueren.

kphart
5-3-2022