WisFaq!

Omzetting

Hoe moet een exponentiële vorm/getal, zeg Xⁿ waarin X nog niet is benoemd, worden omgezet/vertaald in een complex getal, betaande uit deels een reëel en deels een imaginair getal?

Adriaan
24-11-2021

Antwoord

Dat hangt een beetje van de vorm van $X$ af.

Als $X=a+bi$ dan kun je het binomium van Newton toepassen:
$$X^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}(bi)^k
$$de even $k$s leveren het reële stuk, de oneven $k$s het imaginaire stuk:
$$\sum_{k=0}^{\frac n2}\binom{n}{2k}(-1)^ka^{n-2k}b^{2k} +
i\cdot\sum_{k=0}^{\frac {n-1}2}\binom{n}{2k+1}(-1)^ka^{n-2k-1}b^{2k+1}
$$Als je geen extra $a$ en $b$ wilt gebruiken kun je elke $a$ door $\operatorname{Re}{X}$ en elke $b$ door $\operatorname{Im}{X}$ vervangen (maar dat wordt wat onoverzichtelijk).
Of bedoel je iets anders?

kphart
24-11-2021