Beste
Als taak heb ik deze opgave:
Lim x$\to$ $\pi$/2 = (sin x - cos x)tan x
Ik heb het al proberen oplossen via de regel ln (f(x)) = tan x × ln (sin x- cos x)
Hierbij kom ik e0 uit, maar het zou e-1 moeten zijn. Hoe kan ik dit wel juist oplossen?
Alvast bedanktHanne
15-11-2021
Je kunt er dit van maken, door eerst $\ln(\sin x-\cos x)$ te schrijven als
$\ln\sin x+\ln(1-\frac1{\tan x})$:
$$\tan x\cdot\ln\sin x +\tan x\cdot\ln\left(1-\frac1{\tan x}\right)
$$De tweede term kun je omwerken dor $u=1/\tan x$ te substitueren; als $x\to\pi/2$ dan $u\to0$, dus daar komt
$$\lim_{u\to0}\frac{\ln(1-u)}u
$$en dat zou een bekende moeten zijn.
De eerste heeft een trucje nodig:
$$\ln\sin x=\frac12\ln\sin^2x=\frac12\ln(1-\cos^2x)
$$Er komt dus
$$\frac12\sin x\cdot\left(\frac{\ln(1+\cos x)}{\cos x}+\frac{\ln(1-\cos x)}{\cos x}\right)
$$De limiet van $\sin x$ is gelijk aan $1$, en tussen de haken krijg je $1-1=0$.
kphart
15-11-2021
#92893 - Limieten - 3de graad ASO