WisFaq!

De Moivre

Hallo,

In mijn wiskundeboek staat dat de volgende trigonometrische gelijkheid moet worden bewezen: cos(3$\Phi$)=cos³$\Phi$-3cos$\Phi$sin²$\Phi$

Ik ben te werk gegaan door de cos(3$\Phi$) om te schrijven naar (cos$\Phi$+isin$\Phi$)³-isin(3$\Phi$). Wanneer ik deze uitkomst uitvermenigvuldig ontstaat er een grote formule, waarvan ik denk dat ik niet goed bezig ben. De andere weg die ik ben ingeslagen is door het rechterlid van de formule te bewerken. Alleen maak ik daarvan gebruik van de standaard rekenregels en niet van de stelling van de Moivre. Ook hier kom ik niet uit.

Kunt u me een richting aanwijzen welk pad ik moet bewandelen?

Erwin den Boer
28-8-2021

Antwoord

Als het zonder De Moivre mag/moet: reken $\cos (\Phi + 2 \Phi)$ uit met de som- en verdubbelingsformule.

Met De Moivre: vul $n=3$ in. Je krijgt dan:
\[(\cos \Phi + i \sin \Phi)^3=\cos(3\Phi)+i\sin(3\Phi).\]De truc is nu om het linkerlid uit te werken en dan de reële delen aan elkaar gelijk te stellen.
\[cos^3 \Phi +3 cos^2 \Phi i \sin \Phi +3 \cos \Phi (-1) \sin^2 \Phi-i\sin^3 \Phi=\cos(3\Phi)+i\sin(3\Phi)\]Deze gelijkheid geldt nu dus enkel als het reële deel links gelijk is aan het reële deel rechts én het imaginaire deel links gelijk is aan het imaginaire deel rechts. Voor de formule die jij zoekt kijken we naar het reële deel:
\[cos^3 \Phi-3 \cos \Phi \sin^2 \Phi=\cos(3\Phi)\]

js2
28-8-2021