WisFaq!

Parabool

Beste,

Ik zit vast aan een bewijs en kan er niet aan uit hoe ik het kan oplossen. Kunt u mij hierbij helpen?

Op een parabool p met brandpunt F nemen we een punt D verschillend van de top O. De loodlijn in F op de as van P snijdt de parabool in de punten A en B. Het voetpunt van de loodlijn uit D op de as noemen we C.

Gevraagd: Bewijs dat een vierkant met zijde [CD] en een rechthoek met afmetingen |OC| en |AB| gelijke oppervlakten hebben.

Amber
19-8-2021

Antwoord

Hallo Amber,

Bedenk dat een definitie van een parabool is: de verzameling punten waarvoor de afstand tot een brandpunt F gelijk is aan de afstand tot een richtlijn l. Zie deze figuur:



Het punt O' is het voetpunt van de top van de parabool op de richtlijn l. Volgens deze definitie van een parabool moet gelden: |OF|=|OO'|. Deze afstanden noem ik d. Volgens diezelfde definitie geldt: |AF|=|AA'|. Hieruit volgt: |AF|=2d.

C is het voetpunt van D op de as van de parabool. De afstand FC noem ik a. Nu kunnen we de oppervlakte van de paarse rechthoek uitdrukken in d en a:

Opp. paarse rechthoek is 4d(a+d)=4ad+4d²

Bekijk nu punt D: volgens de definitie van de parabool geldt: |DF|=|DD'|, dus |DF|=2d+a. In driehoek FCD bereken je met pythagoras: |CD|²=4ad+4d² (ga voor jezelf na dat dit juist is). Dus: de oppervlakte van het oranje vierkant is |CD|²=4ad+4d². Dit is dezelfde oppervlakte die werd gevonden voor de paarse rechthoek.

GHvD
20-8-2021