WisFaq!

Translatie en homothetie

Beste

Stel t is een translatie van de affiene ruimte en h een homothetie. Ik vraag mij af hoe men kan bepalen of het product th en ht een translatie of homothetie is? Bv. bij th zat ik te denken stel dat th een translatie is zegge t' dan is th=t' hieruit volgt dat h=t^-1*t'maar het product t^-1*t' is een translatie dus we krijgen h=translatie wat een contradictie is dus th moest een homothetie zijn. Alvast dank ik u bij voorbaat!

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
10-8-2021

Antwoord

De conclusie is te snel
1. een homothetie kan ook een translatie zijn: namelijk als de vermenigvuldigingsfactor gelijk aan $1$, dan is het de identieke afbeelding en dus ook een translatie (over de nulvector).
2. Het feit dat $t\circ h$ geen translatie is betekent niet automatisch dat het een homothetie is; het zou ook geen van beide kunnen zijn.

Ik zou formules opschrijven en kijken hoe de samenstellingen eruit zien.
Bijvoorbeeld $t(x)=x+a$ en $h(x)=c+\alpha(x-c) = \alpha x+(1-\alpha)c$ (met $\alpha\neq1$, anders is het flauw).
Reken nu maar eens na dat
$$t(h(x))=\alpha x+(1-\alpha)\bigl(c+\frac1{1-\alpha}a\bigr)
$$en
$$h(t(x))=\alpha x+(1-\alpha)\bigl(c+\frac\alpha{1-\alpha}a\bigr)
$$

kphart
11-8-2021