WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op woensdag 18 mei 2022

Integreren breuk onder wortelteken

Goede morgen,
Ik zoek al even naar een passende substitutie en vermoed ik dat hier partiŽle integratie moet worden toegepast.
Integraal I={√(1-x)dx:√(1+x).
Het resultaat zou moeten zijn:
√(1-x2-2arcsin(√(1-x):√2+C.
Ik had de noemer al wortelvrij gemaakt maar ik geraak er niet uit.
Graag een of meer tips als het even kan .
Nog een fijne dag .
Rik

Rik Lemmens
14-5-2021

Antwoord

Het antwoord klopt inderdaad (differentieer het) maar het is nogal een gedoe. Je kunt tot dat antwoord komen door $1+x$ te schrijven als $2-(1-x) = 2-\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)^2$.
Je vindt dan
$$\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)^2}}
$$dat suggereert de substitutie $u=\sqrt{1-x}$ (en dus $x=1-u^2$); dat geeft dan
$$\int\frac{u}{\sqrt{2-u^2}}\cdot-2u\,\mathrm{d}u
$$Daar is met wat moeite het antwoord wel uit te halen.

Iets eenvoudiger: vermenigvuldig teller en noemer met $\sqrt{1-x}$, het resultaat is
$$\int\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=
\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x
$$en die is een stuk makkelijker.

kphart
14-5-2021


© 2001-2022 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#92198 - Integreren - Iets anders