Op een hyperbool A nemen we een willekeurig punt D. De raaklijn in D aan H snijdt de asymptoten in E en E2. Bewijs dat D het midden is van EE2. Beste kan u aub mij helpen met deze vraag oplossen.Ayesha
29-4-2021
We gaan uit van een hyperbool $\eqalign{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$.
De asymptoten zijn $\eqalign{y=\pm\frac{b}{a}x}$.
Laten we $D(p,q)$ als coördinaten nemen.
De raaklijn aan $D$ is $\eqalign{\frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1}$, ofwel
$$b^2px-a^2qy=a^2b^2. \,\, [1]$$Substitueren we $y=\frac{b}{a}x$ in [1] dan geeft dat
$$b^2px-a^2q\frac{b}{a}x=a^2b^2$$dus
$$b^2px-abqx=a^2b^2$$$$(bp-aq)x=a^2b$$$$x=\frac{a^2b}{bp-aq}.$$De $x-$coördinaat van het snijpunt met de asymptoot $y=-\frac{b}{a}x$ gaat op dezelfde manier en wordt
$$x=\frac{a^2b}{bp+aq}.$$Het gemiddelde van deze twee $x-$coördinaten is .... $p$! En we hebben het gevraagde bewijs. Het rekenwerk voor de laatste stap laat ik aan jou over. Mocht je daarbij nog hulp nodig hebben, dan hoor ik het graag.
Met vriendelijke groet,
FvL
30-4-2021
#92087 - Bewijzen - 3de graad ASO