WisFaq!

Aⁿ berekenen

Ik heb een opgave:

Gegeven $
A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
a & 1 \\
0 & a \\
\end{array}} \right)
$ met $a$ een element van $\mathbf(R)$ zonder 0.

• Bereken $A^n$ met $n$ een element van $N$ zonder 0.

Ik ga een foto van de opgave erbij sturen, ter verduidelijking, maar ik snap niet wat ik met deze informatie moet en hoe ik eraan moet beginnen. De oplossing stuur ik ook via de foto maar ik vind dit best ingewikkeld. Kan er iemand mij helpen?

Melike
27-12-2020

Antwoord

Ik denk dat het de bedoeling is om een aantal matrices uit te rekenen en te kijken of je er een 'regel' in kan ontdekken. Dat gaat in dit geval heel goed, denk ik...

Voor $n=1, 2, 3, 4, ...$

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
a & 1 \\
0 & a \\
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a^2 } & {2a} \\
0 & {a^2 } \\
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a^3 } & {3a^2 } \\
0 & {a^3 } \\
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a^4 } & {4a^3 } \\
0 & {a^4 } \\
\end{array}} \right) \to ...
$

Ik heb wel een vermoeden...

Naschrift
De regel laat zich vrij gemakkelijk bewijzen met volledige inductie.

WvR
27-12-2020