WisFaq!

Veeltermen complexe getallen

Halloo ik heb een probleem van uit de ingangsexamens,
de vraag is de volgende:

Geg is de veelterm f(z)=z⁵+az⁴+bz³+cz²+14z+d met a,b,c,d element van R]
Gevr:a, bepaal a,b,c,d zo dat f(z) deelbaar is door (z+2)en door (z²-2z+2) en zo dat het verschil van de corresponderende quotiënten deelbaar is door (z²-9)
b, Bepaal alle nulpunten f(z) voor deze gevonden waarden van a,b,c en d

Andres mendoza da silva
23-3-2003

Antwoord

Hallo voetbalfreak,

f(z) moet deelbaar zijn door z+2, dus als je de Euclidische deling (=staartdeling) uitvoert, moet de 'rest' linksonder op nul uitkomen, maar die nul zal nog wel afhangen van a,b,c,d. Ik kwam uit op een rest van 16a-8b+4c+d-60. Analoog kan je de deling maken door z²-2z+2, dit gaf mij een rest van (10+2b+2c)z + (d-2c-4a-4b). Dat zijn dus al drie vergelijkingen in a,b,c en d. Maar er zijn vier onbekenden, dus is er nog één extra nodig. Die wordt gegeven door die z²-9: je hebt door die staartdelingen die quotiënten bekomen, trek ze van elkaar af en deel dat weer op dezelfde manier door z²-9. De rest hiervan moet weer nul zijn, wat je nog een voorwaarde zal geven. Dan zou je a,b,c,d moeten kunnen bepalen, want dat is dan gewoon een lineair stelsel, dus dat kan je oplossen met matrices of door een aantal keer substitutie door te voeren bijvoorbeeld.
Wat b betreft moet je dan nog enkel nulpunten zoeken van die bekomen veelterm. -2 zal zeker een wortel zijn. Je weet ook dat (z²-9) het verschil van de twee quotiënten deelt, dus dat deelt ^f/_z+2 - ^f/_z²-2z+2 = ^(z2-3z)f/_{(z+2)(z²-2z+2)}
Dus z²-9 = (z-3)(z+3) deelt z*(z-3)*f(z), dus z+3 deelt f(z), dus -3 zal ook nog een wortel zijn. Als je die dan ook nog eens uitdeelt zou de vraag zowat opgelost moeten zijn.

Als je er niet uitgeraakt, mail dan nog maar eens terug,
Groeten,

Christophe
23-3-2003