WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 2 mei 2024

Rekenregel exponentiële functie in R bewijzen

We weten dat de vergelijking ar+s=ar·as opgaat in $\mathbf{Q}$, met a element van de strikt positieve reële getallen en r en s element van $\mathbf{Q}$, maar hoe toon ik nu aan de hand van limieten van rijen dat dit ook opgaat in $\mathbf{R}$?

Margaux
30-7-2018

Antwoord

Dat hoeft niet noodzakelijk zo te zijn. Ik neem aan dat ook gegeven is dat de functie continu is. In dat geval neem je $x$ en $y$ in $\mathbb{R}$ en twee rijen rationale getallen, $(p_n)_n$ en $(q_n)_n$ met $x=\lim_np_n$ en $y=\lim_nq_n$. Wegens de continuïteit geldt nu $a^x=\lim_na^{p_n}$ en $a^y=\lim_na^{q_n}$, en ook $a^{x+y}=\lim_na^{p_n+q_n}$. Pas nu het gegeven toe op de machten $a^{p_n}$, $a^{q_n}$, en $a^{p_n+q_n}$.

Zie Pythagoras: Machtsverheffen voor gevorderden [http://fa.its.tudelft.nl/~hart/37/stukjes-pythagoras/jg45/2006-01-machten.pdf]

kphart
30-7-2018


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#86605 - Functies en grafieken - Student universiteit België