WisFaq!

Re: Re: Re: Diertjes in het bos

De berekening met gebruik van een overlevingskans van 90% geeft inderdaad een uitkomst van 48,41%.

Toch zit ik nog met een vraagje :

Vooraleer je een eerste keer het bos in trekt is het inderdaad zo dat de gebeurtenis O een binomiale kansverdeling gebaseerd op 5 diertjes B(n,p) = B(5,0.9) is.

Nadat je evenwel een eerste keer het bos in trekt en een diertje vangt, merkt en terug vrij laat weet je dat er sowieso 1 diertje in leven is.(P(gemerkt diertje leeft) = 1)

Wordt de oorspronkelijke gebeurtenis O dan niet herleidt tot een binomiale kansverdeling gebaseerd op 4 diertjes B(n,p) = B(4,0.9) in plaats van 5 diertjes ?

P(O=0)= 1.(0.9⁴).(0.1⁰) = 0.6561 en P(O=0|M) = ¹/₅
P(O=1)= 4.(0.9³).(0.1¹) = 0.2916 en P(O=1|M) = ¹/₄
P(O=2)= 6.(0.9²).(0.1²) = 0.0486 en P(O=2|M) = ¹/₃
P(O=3)= 4.(0.9¹).(0.1³) = 0.0036 en P(O=3|M) = ¹/₂
P(O=4)= 1.(0.9⁰).(0.1⁴) = 0.0001 en P(O=4|M) = 1

Hierbij is M de gebeurtenis dat het gemerkte dier als eerste werd gevonden bij de tweede poging om een diertje te vangen in het bos.

Luka
4-4-2018

Antwoord

Hallo Luka,

Ik kan me goed voorstellen dat het tegen je gevoel in gaat dat je rekening moet houden met de kans op de gebeurtenis 'alle diertjes overleden' terwijl je weet dat er minstens één levend diertje is. Ik zal met een vereenvoudigd voorbeeld proberen duidelijk te maken dat dit toch zo is.

In plaats van diertjes uitzetten kunnen we muntjes opgooien. De uitkomst 'kop' kan je vergelijken met 'gestorven', de uitkomst 'munt' kan je dan vergelijken met 'overleven'. Alleen is nu de kans op munt 50%, dat rekent wel zo makkelijk. Verder neem ik maar twee muntjes, ook dat maakt het geheel overzichtelijker.

We gooien onder een handdoek (zodat we de uitkomst nog niet kunnen zien) twee muntjes op. K = het aantal keer kop. K is binomiaal verdeeld: B(2,0.5). De bijbehorende kansverdeling is:

p(K=0) = p(M,M) = 0.25
p(K=1) = p(K,M)+ p(M,K) = 0.50
p(K=2) = p(K,K) = 0.25

Bij de diertjes waren we op zoek naar de kans dat minstens één dier is gestorven. Hier is dit: de kans op minstens één keer kop. In de tabel zien we dat deze kans 0.75 is.

Maar stel je dan voor dat we eventjes één muntje zien, dit blijkt 'munt' te zijn (vergelijkbaar met: we treffen een levend diertje aan). De laatste gebeurtenis (K=2) is met zekerheid niet opgetreden. Er zijn nog maar twee mogelijkheden voor het aantal keer kop: K=0 of K=1.

Volgens jouw redenering zouden we nu de kansverdeling moeten 'herleiden', gebaseerd op één muntje minder. Dus: slechts één muntje. De kansen op K=0 en K=1 zouden dan ieder 50% zijn. Maar dan vergeet je dat er twee mogelijkheden zijn voor 'K=1' (namelijk: (K,M) en (M,K)), en maar één mogelijkheid voor K=0 (M,M). Nog steeds is de kans op één kop, één munt twee keer zo groot als de kans op munt, munt. Anders gezegd: de verhouding van de kansen op de overgebleven mogelijke gebeurtenissen is niet veranderd.

Conclusie: het feit dat je één munt ziet (of: één levend diertje) maakt dat je achteraf weet dan één van de mogelijkheden niet is opgetreden, maar dat maakt niet de kans nul dat deze mogelijkheid had kunnen optreden. Het is dus ook niet zo dat de kans op deze gebeurtenis wordt 'herverdeeld' over de andere gebeurtenissen.

Hopelijk is nu wat duidelijker waarom je toch met de 'oorspronkelijke' kansverdeling moet blijven rekenen.

GHvD
5-4-2018