WisFaq!

Hoe deling omzetten in een optelling van twee breuken

In welke stappen ga je van

B/(N(B-N)) naar 1/N + 1/(B-N)

Gerard
30-3-2018

Antwoord

Dat noemen we breuksplitsen. Het doel is:

$
\eqalign{\frac{B}
{{N(B - N)}} = \frac{p}
{N} + \frac{q}
{{B - N}}}
$

Wat moet je nu voor $p$ en $q$ nemen zodat het klopt? Ik ga de breuken aan de rechter kant gelijknamig maken. Ik kan de breuken dan optellen en uiteindelijk zou de teller dan gelijk moeten zijn aan $B$. Dat gaat zo:

$
\eqalign{
& \frac{p}
{N} + \frac{q}
{{B - N}} = \cr
& \frac{p}
{N} \cdot \frac{{B - N}}
{{B - N}} + \frac{q}
{{B - N}} \cdot \frac{N}
{N} = \cr
& \frac{{p\left( {B - N} \right)}}
{{N \cdot \left( {B - N} \right)}} + \frac{{q \cdot N}}
{{\left( {B - N} \right) \cdot N}} = \cr
& \frac{{p\left( {B - N} \right) + q \cdot N}}
{{N \cdot \left( {B - N} \right)}} \cr}
$

Nu moet de teller gelijk aan $B$ zijn!

$
p\left( {B - N} \right) + q \cdot N = B
$

Daaruit kan je dan afleiden:

$
\eqalign{
& p\left( {B - N} \right) + q \cdot N = B \cr
& pB - pN + qN = B \cr
& pB + N( - p + q) = B \cr
& p = 1 \wedge - p + q = 0 \cr
& p = 1 \wedge q = 1 \cr}
$

Conclusie:

$
\eqalign{\frac{B}
{{N(B - N)}} = \frac{1}
{N} + \frac{1}
{{B - N}}}
$

---

• 1. Eenvoudige voorbeelden

WvR
30-3-2018