WisFaq!

Verband tussen een afgeleide en het getal e

Het college gaat over het modelleren van dynamische systemen waarbij als voorbeeld de ontwikkeling van de omvang van een populatie bacteriën wordt bekeken. Hierbij wordt gebruik gemaakt van ODE (Ordinary Differential Equations)

Titel video: Mathematical Biology. 01: Introduction to the Course



In de video tussen moment 3.42 en 7.58 wordt vanuit een afgeleide teruggewerkt naar een functie.

N is het aantal bacteriën op enig moment dN/dt betreft de groei en men neemt aan dat dat gebeurt volgens KN waarbij K een constante zou zijn.

N(t) betreft aantal bacteriën in de tijd.
voorbeeld : 1, 2, 4, etc. (wordt hier 2^t bedoeld?)

Er gelden twee aannames:

1. t is een reel getal
2. N is een reel getal

^dN/_dt=k·N (waarom?)

Vervolgens wordt aangegeven dat de onbekende bij een ODE een functies is dat deze functie N(t) er als volgt uit ziet:
N(t)=e^kt (waarom?)

Alvast hartelijk dank!

Gerard de Jong
27-3-2018

Antwoord

Er geldt:

$\eqalign{\frac{dN}{dt}=k·N}$

Dat wil zeggen dat de afgeleide evenredig is met het aantal bacteriën. Hoe groter $N$ hoe groter $N'$. Je moet je voorstellen dat $N'$ de afgeleide is van $N$ en dat $N$ een functie is van $t$. We zijn dus op zoek naar een functie $N$ waarvan de afgeleide $k·N$ is. We zoeken een functie die, op een constante na, zijn eigen afgeleide is. Dat is $y=e^x$.

Neem $N(t)=e^{kt}$. De afgeleide is gelijk aan $N'(t)=k·e^{kt}$. Dit is de oplossing! Er geldt: $N'(t)=k·N(t)$. Mission accomplished!

Het gaat hier om het oplossen van differentiaalvergelijkingen. De oplossing is een functie!

Bij de FAQ's kan je nog meer vinden, maar ik raad je aan een cursus te doen. In de gangbare methodes kan je die wel vinden!

WvR
28-3-2018