WisFaq!

Transformaties in de goniometrie

Hallo,

Ik ben bezig met een opdracht, waarbij je moet berekenen op welk tijdstip grafiek f(x)= 14 + 7sin(1/6$\pi$x + 1,5$\pi$) op zijn minimum is na x=0.

Ik had zelf het volgende bedacht: de normale sinus heeft een periode van 2$\pi$, dus het minimum (op x=1,5$\pi$) bevindt zich dan op 3/4 periode. Deze functie f(x) heeft een periode van 2$\pi$/(1/6$\pi$)=12. Dus zijn minimum moet dan ook op 3/4 periode zitten=9. Maar de grafiek is ook 1,5$\pi$ opgeschoven naar links, dus 9-1,5$\pi$ zou dan naar mijn idee het tijdstip moeten zijn waar deze grafiek zijn minimum moet hebben.

Echter klopt dit dus niet, want f(x) heeft zijn minimum op x=0 (en dus weer een op x=12, wat het antwoord op de vraag is).

Mijn vraag is nu, wat gaat er fout in deze redenatie?

Met de volgende methode komt het wel uit overigens:
14 + 7sin(1/6$\pi$x+1,5$\pi$)= 7
7 sin(1/6$\pi$x +1.5$\pi$)= -7
sin (1/6$\pi$x +1,5$\pi$)= -1
sin(1/6$\pi$x + 1,5$\pi$)= sin (1,5$\pi$)
1/6$\pi$x+ 1,5$\pi$= 1,5$\pi$
1/6$\pi$x= 0
x=0

MVG en alvast bedankt!

roos
30-12-2017

Antwoord

Hallo Roos,

Wanneer je in de formule voor een sinusoïde snel wilt aflezen wat de periode, amplitude, horizontale en verticale verschuiving zijn, schrijf dan de formule in deze vorm:

f(x) = a + b·sin(c(x-d))

In deze formule is:

verticale verschuiving: a
amplitude: b
periode: 2$\pi$/c
horizontale verschuiving: d

Jouw formule staat nog niet in deze standaardvorm: de binnenste haakjes ontbreken. We kunnen de formule wel omschrijven naar deze standaardvorm door binnen de haakjes ¹/₆$\pi$ buiten haakjes te halen. We krijgen dan:

f(x) = 14 + 7·sin(¹/₆$\pi$(x+9))

Controleer dit door de binnenste haakjes weer weg te werken, je krijgt dan jouw functie terug.

Nu zien we in de formule dat de verschuiving 9 naar links is, en niet 1,5$\pi$.

De rest van jouw redenering klopt wel. Het beginpunt is bij x=-9. Het eerstvolgende minimum vind je na ³/₄ van de periode, dus bij x=-9+³/₄·12, dus bij x=0. Het daaropvolgende minimum vind je één periode verder, dus bij x=12.

GHvD
30-12-2017