WisFaq!

Stralen en lengtes

Beste,

Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC met daarin de twee driehoeken BCH en ACH. Cirkel O2 is de ingeschreven cirkel van driehoek BCH en O3 van de driehoek ACH. O1 is de ingeschreven cirkel van driehoek ABC.



Toon aan dat r₁+r₂+r₃= CH.

We zijn al zover dat we weten dat we met letters moeten werken om dat er geen getallen gegeven zijn.

We waren aan het denken om een formule van elk lijnstuk op te stellen en het dan met de afstandsformule uit te werken. Hier liepen we echter vast.

Hierna hebben we CH uitgedrukt in verschillende letters en dit aan elkaar gelijk gesteld. Maar ook hier liepen we vast (geen idee of dit komt door een rekenfout, of omdat we de verkeerde manier hanteren).

Verder hebben we ook de stralen van de cirkels al loodrecht op de zijdes gezet. Er ontstaan zo allemaal gelijkzijdige driehoeken.

De vraag is dan ook of u ons een beetje op weg zou kunnen helpen.

Met vriendelijke groet,
Chris

Chris
26-12-2017

Antwoord

Hallo Chris,

Ik ga er van uit dat in jouw figuur $CH$ loodrecht staat op $AB$.

Ik gebruik in mijn antwoorden de volgende notatie:
$BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ en $CH=h$.

Laten we eerst eens kijken naar $r_1$. Dan weten we dat de oppervlakte van $\Delta ABC$ bijvoorbeeld op de volgende manieren kan worden uitgerekend:

$Opp(\Delta ABC)=\frac 12 ch = \frac 12 r_1(a+b+c)$.

Die tweede formule ontstaat door de oppervlaktes van $\Delta BCO_1$, $\Delta ACO_1$ en $\Delta ABO_1$ op te tellen.

Ook weten we dat $\Delta ABC \sim \Delta CBH \sim \Delta ACH$. De stralen van de ingeschreven cirkels van deze driehoeken staan dus in dezelfde verhouding als bijvoorbeeld hun schuine zijden:

$r_2=\frac ac r_1$ en $r_3 = \frac bc r_1$.

Hieruit volgt dat $r_1 + r_2 + r_3 = \frac{a+b+c}c r_1$.

Combineer dit laatste eens met een formule voor $r_1$ die je uit $Opp(\Delta ABC)$ kunt afleiden en je bent er.

Succes!

Met vriendelijke groet,

FvL
27-12-2017