WisFaq!

Standaard deviatie uit covariantiematrix

Voor een kleinste kwadraten analyse van een waarnemings reeks bepaal ik H en b uit de volgende vergelijking:

H·cos(a+b) = l, waarbij l de waargenomen hoogte is.

H·cos(a+b) kan ook geschreven worden als:

H(cos(a)·cos(b)-sin(a)·sin(b)) = cos(a)·(H·cos(b))-sin(a)·(H·sin(b))

De waarnemingsmatrix A wordt dan:

| cos(a₁) sin(a₁) |
| cos(a₂) sin(a₂) |
: :
| cos(an) sin(an) |

Als je dit stelsel oplost (AtA)-1 houdt je de covariantie matrix over deze bevat de standdaard deviaties van de oplossingen:

| SD(HCos(b))² .. |
| .. SD(Hsin(b))² |

De vraag is hoe ik de SD(H) en de SD(b) bepaal uit SD(HCos(b)) en SD(HSin(b))

Arnold Niessen
25-10-2017

Antwoord

Even opletten met het minteken: een rij in je matrix ziet er uit als $(\cos a_i,-\sin a_i)$. Als je het stelsel oplost via $(A^TA)^{-1}A^TI$ krijg je een vector van de vorm $(P,Q)^T$; dan moet je $H$ en $b$ zo bepalen dat $P=H\cos b$ en $Q=H\sin b$. Maar $H^2=P^2+Q^2$ en dan $\cos b=\frac PH$ en $\sin b=\frac QH$.

kphart
26-10-2017