WisFaq!

Vergelijking van ellipsenbundel

Hoe moet ik de vergelijking zoeken van volgende ellipsenbundel? Gegeven een willekeurige driehoek. In zo een driehoek passen oneindig veel ellipsen die ieder aan de drie zijden raken.
Een eenvoudige start is met een hoekpunt A(a,0), een hoekpunt B(0,b) en een hoekpunt C(-c,0), maar dan?
M.i. heeft die vergelijking de vorm y²+2Bxy+Cx²+2Dy+2Ex+F=0 met voorwaarden voor de coëfficiënten B tot F.

Steven Verhezen
22-8-2017

Antwoord

Hallo, Steven!

Goed begin!
Dus a,b,c zijn gegeven en positief, en B,C,D,E,F worden gezocht.
(Het is wel een beetje onhandig dat u twee hoekpunten ook B en C hebt genoemd.)
De voorwaarde dat uw vergelijking die van een ellips is, is C $>$ B².
Nu moeten de lijnen y=0, bx+ay=ab, en bx-cy=-cb alle drie raken aan de ellips.
Bijvoorbeeld, als je de lijn bx+ay=ab snijdt met de ellips, moeten er twee samenvallende snijpunten zijn. Substitueer y=b-bx/a in uw vergelijking, en eis dat van de vierkantsvergelijking die je dan krijgt de discriminant 0 is.
Dit geeft een nieuwe restrictie waar B,C,D,E,F aan moeten voldoen, naast C $>$ B².
Analoog vind je nog twee restricties bij het snijden met de andere twee zijden van de driehoek.
Bij gegeven a,b,c, kun je B en C vrij kiezen, mits C $>$ B².
Daarna kun je geschikte D,E,F berekenen met de drie vergelijkingen die uitdrukken dat een discriminant 0 is.
(Elke ellips in het x,y-vlak heeft drie raaklijnen die evenwijdig zijn aan de zijden van de gegeven driehoek. Met B en C bepaal je de richtingen van de grote en kleine as en de verhouding van hun lengten. D,E,F dienen om de ellips te vergroten of verkleinen en te verplaatsen.)

Ik heb op het net gezocht naar een mogelijke andere methode, die misschien gebruik maakt van twee basis-ellipsen: bijvoorbeeld de ingeschreven cirkel en de ellips die raakt in de middens van de zijden. Verder niets gevonden.

hr
23-8-2017