WisFaq!

Reeksom van numerieke reeksen

Hallo, ik heb de volgende vraag gekregen:

Functie f(x) = sin(x/2), op het interval [0, $\pi$].
We moeten de reekssom van de volgend numerieke bepalen, steunend op de fouriercosinusreeks van f met periode 2·$\pi$ :
sum((-1)··k / (2·k+1)³,k=1..infinity).

Ik geraak niet verder bij de uitwerking van de reeks. De fouriercosinusreeks die ik heb gevonden is:

4/$\pi$ + 2/Pi · sum( (-4/($\pi$·(4·n²-1)) · cos(n·t) , n = 1..infinity)

Volgens mij hoort de n-waarde bij deze reeks Pi te zijn. Wanneer ik dit uitwerk zie ik dat ik (4·n² - 1) kan ontbinden in zijn dubbel product maar dan raak ik niet verder.

Kunnen jullie mij helpen? Dankuwel!

Emma
20-7-2017

Antwoord

Ik heb een iets andere cosinusreeks gekregen:
$$
\frac2\pi-\frac4\pi\sum_{n=1}^\infty\frac1{4n^2-1}\cos nx
$$
Ik zie echter niet hoe je hier (redelijk eenvoudig) de som van de gegeven reeks mee kan bepalen.
Het kan met een andere functie een stuk eenvoudiger: neem $g(x)=f(\pi-x)$ en bepaal zijn sinusreeks op $[0,\pi]$. Met partiële integratie zul je uitkomen op
$$
\int_0^\pi f(\pi-x)\cdot\sin nx\,\mathrm{d}x=\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}
$$
Als je nu de reeks netjes uitwerkt en aan het eind $x=\frac12\pi$ invult krijg je je uitkomst.

kphart
21-7-2017