WisFaq!

Bissectrices, verhoudingen en hoeken

Hallo,

Ik heb de volgende opdracht gekregen, als ik eenmaal één of twee hoeken weet, weet ik hoe ik verder moet. Maar ik heb geen idee hoe aan deze som te beginnen.

$\to$ In driehoek ABC trekt men de bissectrices AD en CE. Het snijpunt der bissectrices is K. Indien CK:KE=3:2 en bovendien $\angle$A-$\angle$B=60⁰. Bereken de hoeken van de driehoek.

Alvast bedankt voor de moeite.
Groeten

Jelle
13-5-2017

Antwoord

Hallo Jelle,

Twee dingen om je op weg te helpen:

1. De verhouding $AE:AC$ is gelijk aan $EK:KC$. Dat heet de bissectricestelling. Die stelling kun je inzien als je naar de oppervlaktes van $\Delta AEK$ en $\Delta ACK$ kijkt. De hoogtes vanuit $K$ op $AE$ en $AC$ zijn gelijk (eigenschap bissectrice) en de hoogtes vanuit A op $EK$ en $KC$ zijn vanzelfsprekend ook gelijk. Dus als $KC$ 1,5 keer zo groot is als $EK$, dan is de oppervlakte van $\Delta AKC$ ook 1,5 keer zo groot als die van $\Delta AEK$ en is vervolgens $AC$ ook 1,5 keer zo groot als $AE$.

Je kunt nu bijvoorbeeld $AC=3$ stellen en $AE=2$.

2. Met de hoekensom van $\Delta ABC$ kun je zien dat $\angle C=120^{\circ} - 2\cdot\angle B$ oftewel $\frac 12 \angle C=60^{\circ} - \angle B$. Hieruit volgt dat $\angle BEC = 120^{\circ}$ en $\angle AEC = 60^{\circ}$.

Met de cosinusregel in $\Delta AEC$ kun je nu $CE$ uitrekenen. En daarna kun je $\angle A$ bepalen. En dan zou het verder moeten lukken.

Succes.

Met vriendelijke groet,

FvL
14-5-2017