WisFaq!

Afgeleide astroïde

Voor mijn eindwerk moet ik de astroïde bestuderen.
Mijn vraag hoe kan je de afgeleide van een astroïde berekenen? Ik weet niet hoe ik de y-waarde kan afzonderen uit de formule $
\sqrt[3]{{y^2 }} = \sqrt[3]{{a^2 }} - \sqrt[3]{{x^2 }}
$ op een wiskundige manier.

Ik heb geprobeerd om de afgeleide te berekenen met de formule $
y = \sqrt {\left( {\sqrt[3]{{a^2 }} - \sqrt[3]{{x^2 }}} \right)^3 }
$ maar dit komt niet uit.

Kent iemand de oplossing of kan iemand me verder helpen?

Astrid Willocx
30-4-2017

Antwoord

Het zou wel moeten lukken; schrijf alles eens met machten en exponenten:
$$
y^{\frac23}+x^{\frac23}=a^{\frac23}
$$
en dan
$$
y=(a^{\frac23}- x^{\frac23})^{\frac32}
$$
Nu zou je met de kettingregel een heel eind moeten kunnen komen.

Een alternatief is impliciet differentiëren, je schrijft $y=y(x)$ en differentieert de vergelijking van de asteroïde:
$$
\frac23y(x)^{-\frac13}y'(x) + \frac23x^{-\frac13}=0
$$
Op die manier kun je $y'(x)$ in $y(x)$ en $x$ uitdrukken.

kphart
30-4-2017