WisFaq!

Bewijs oppervlakte driehoek met ingeschreven cirkel

De opdracht die ik moet oplossen is: gegeven een rechthoekige driehoek ∆ABC, �$\angle$B = 90⁰. De ingeschreven cirkel van ∆ABC raakt zijde AC in punt D. Bewijs dat de oppervlakte van ∆ABC gelijk is aan |AD|∙|CD|. Ik weet niet goed waar ik moet beginnen.

Gonneke
27-3-2017

Antwoord

Teken de loodlijnen vanuit $M$, het middelpunt van de cirkel, op de zijden: $MD$ op $AC$, $ME$ op $AB$ en $MF$ op $BC$. Merk op: $BEMF$ is een vierkant, en de vierhoeken $AEMD$ en $CFMD$ zijn vliegers. Door driehoeken te verleggen kun je laten zien dat de oppervlakte van de driehoek gelijk is aan de som van $|AD|\cdot|ME|$, $|CD|\cdot|ME|$ en $|ME|^2$. Laat ook zien dat $(|AD|+|ME|)(|CD|+|ME|)$ gelijk is aan tweemaal de oppervlakte van de driehoek.

kphart
28-3-2017