WisFaq!

Convergente rij gaande naar eČ

Ik probeerde een oefening iver het uiterekenen van de limiet van een rij te maken.

Oefening luidde: u(n) = (1+ 2/n)ⁿ. Ga na of de rij convergent is en bereken de limiet indien mogelijk.Je kan steunen op de gekende limiet voor u(n) = (1 + 1/n)ⁿ.

Die gegeven limiet is dus e. Het antwoord op de oefening is e².

Nu heb ik en tijdlang gezwoegd om te proberen aan te tonen dat (1+ 2/n)ⁿ gelijk is aan (1 + 1/n)²ⁿ maar slaagde daar niet in.
Om te proberen begrijpen hoe men tot dat antwoord is gekomen heb ik ook geprobeerd om de omgekeerde weg te gaan (misschien was dat gemakkelijker) maar ik kreeg dat (1 + 1/n)²ⁿ = (1 + 2/n + 1/n²)ⁿ.

Een gelijkaardig probleem heb ik bij dezelfde oefening, voor u(n) = (ⁿ⁺²/_n-1)ⁿ, waarbij de limiet e³ moet zijn.

Ik heb het idee dat ik ergens een heel domme fout aan het maken ben of misschien rekenregels verkeerd toepas, maar ik zit in ieder geval vast.

Linde
6-2-2017

Antwoord

Je kunt een paar dingen doen:

1. laten zien dat
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{2n}
$$dat is niet hetzelfde als wat jij probeerde (laten zien dat de termen gelijk zijn). Je kunt het verschil schrijven als
$$
\left(1+\frac2n\right)^n\left[\left(1+\frac1{n^2+2n}\right)^n-1\right]
$$Je kunt laten zien, met wat werk, dat het gedeelte tussen $[]$ limiet nul heeft.

2. Je kunt een substitutie toepasen: $n=2k$, dan komt er
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^{2k}=e^2
$$(ik denk dat dat de bedoeling is).

Je tweede limiet kun je schrijven als
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac3{n-1}\right)^{n-1+1}
$$met toepassing van rekenregels kun je daar $e^3$ van maken.

kphart
6-2-2017