WisFaq!

Een probleem met lijnintegralen

Ik heb een probleem met het begrip van lijnintegralen
Ik versta de lijnintegraal berekend volgens booglengte ds
dus F(ds)
Je berekent dan de oppervlakte van een hek (de hoogte is F(x,y) de breedte is ds. SO far so good.
Maar in de meeste handboeken gaat men dan over tot een herformulering in de trant van P(x,y)dx + Q(x,y)dy

En hier haak ik af .Want wat bereken je als je Pdx berekent ? of Qdy? Bij dubbele integralen bereken je dxdy
dus het mini-rechthoekje dat je gaat sommeren over de functie. Maar P(x,y)dx? wat bereken je ?

Sommige handboeken suggereren dat P(x,y)dx de projectie op de x-as is. Dat versta ik niet .

Trouwens wat is dan de "projectie op de X-as " plus de projectie op de Y-as

Ik zit dus helemaal in de knoop. Wie helpt?

jan roelens
5-1-2017

Antwoord

Zo te zien heb je wat dingen overgeslagen bij het doorlezen van de stof. Er zijn twee soorten lijnintegralen `in het vlak'.
Gegeven een functie $f$ van (een deel van) $\mathbf{R}^2$ naar $\mathbf{R}$ en een kromme $C$ definieer je
$$
\int_C f\,\mathrm{d}s
$$door een parametrisering $t\mapsto \mathbf{x}(t)$ van $C$ te nemen, met domein $[a,b]$ en dan
$$
\int_a^b f(\mathbf{x}(t))|\mathbf{x}'(t)|\,\mathrm{d}t
$$te nemen. Dat kun je inderdaad als oppervlakte van een gekromd hek interpreteren maar ook als een massa van de kromme $C$ waarbij $f$ dan de massadichtheid is.
De andere lijnintegraal is die van een functie $\mathbf{F}$ van (een deel van) $\mathbf{R}^2$ naar $\mathbf{R}^2$, zo'n $F$ noemt men een vectorveld. De integraal van $\mathbf{F}$ over $C$ wordt genoteerd als
$$
\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}
$$de $\cdot$ staat voor het inwendig product. De definitie is weer met behulp van de parametrisering:
$$
\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{x}(t))\cdot\mathbf{x}'(t)\,\mathrm{d}t
$$De interpretatie is veelal dat $\mathbf{F}$ een krachtenveld is en de integraal is de verrichte arbeid door $\mathbf{F}$ langs $C$.
De coorinaten van $\mathbf{F}$ worden heel vaak $P$ en $Q$ genoemd en
$$
\int_C P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y
$$is een alternatieve notatie voor die integraal.
De integraal $\int_C P(x,y)\,\mathrm{d}x$ is de arbeid die de horizontale component van $\mathrm{F}$ verricht.

kphart
6-1-2017