WisFaq!

Snijpunten tussen cirkel en ellips

Beste,

ik ben net begonnen aan de universiteit maar heb voor wiskunde een vraag die ik niet begrijp.

gegeven zijn de cirkel (x-1)² + (y+2)² = 4 en de ellips (x²/4) + y² = 1

1) zoek de gepaste parametervoorstelling?
-dit is mij gelukt:

cirkel:
x = 2cos(t) + 1
y = 2sin(t) - 2

ellips:

x = 2cos(t)
y = sin(t)

2) bereken de snijpunten van de cirkel met de ellips?

Nu heb ik al vanalles geprobeerd maar het komt nooit uit,
ik heb eerst de vergelijkingen aan elkaar gelijk gesteld zodat ik een tweedegraadsvergelijking uitkwam maar die had geen nulpunten (terwijl er wel nulpunten zouden moeten zijn)

(x-1)² + (y+2)² - 4 = (x²/4) + y² - 1
x² - 2x + 1 + y² + 2y + 4 - 4 -(1/4)x² - y² + 1 = 0
(3/4)x² - 2x + 2 +2y = 0
y = (-3/8)x² + x - 1
heeft geen nulpunten.

Dan dacht ik de parametervergelijking van de cirkel in te vullen in de cartesiaanse vergelijking van de ellips:

((2cos(t) + 1)² / 4) + (2sin(t) - 1)² = 1

dan via de 'solve' functie van mijn cx-cas rekenmachine kwam ik op t = 1.7801 u t = 3.07819
dan vul ik de t-waarden in in de parametervoorstelling van de ellips (of cirkel) maar dan kwam ik weer het foute uit.

de oplossingen moeten zijn:
(-0.694581; -0.937756)
en
(1.9433;-0.236427)

dank bij voorbaat.

Thomas
30-10-2016

Antwoord

Je aanpak is goed, maar bij de eerste heb je $(y+2)^2$ niet helemaal goed uitgewerkt: je krijgt $y^2+4y+4$. Daarna moet je de (juiste) $y$ weer in een van de vergelijkingen invullen; je krijgt dan een vierdegraadsvergelijking in $x$.
Bij de goniomethode heb je ook een schrijffout gemaakt: $y=2\sin t-2$ (jij had $2\sin t-1$ ingevuld).

kphart
30-10-2016