WisFaq!

Rang n, dan lineair afhankelijke vectoren

Beste,

Bij de matrix

(1  1
 1 -1
 1 -1 )

zal de rang toch zeker kleiner zijn dan het aantal rijen ( de rang kan hoogstens 2 zijn en de er zijn 3 rijen) en ik heb de regel geleerd dat als de rang $<$ n dat we dan te maken hebben met lin afhankelijke vectoren, toch staat bij mijn slides dat de vectoren in deze matrix lineair onafhankelijk zijn. Ik kan er dus niet meer aan uit. Wat is nu de juiste uitleg? ;)

Met vriendelijke groeten

mieke
27-5-2016

Antwoord

Beste Mieke,

Je moet eens goed kijken of er iets over de dimensie van de matrix bij die regel staat, of misschien over welke vectoren het gaat: die in de rijen, of in de kolommen?

Als de rang van een $n \times n$-matrix gelijk is aan $n$, dan zijn de $n$ vectoren die je in de kolommen kan aflezen lineair onafhankelijk, net zoals de $n$ vectoren die je in de rijen kan aflezen. Als de dimensie kleiner is dan $n$, zijn ze in beide gevallen lineair afhankelijk.

Bij jouw $3 \times 2$-matrix (geen vierkante matrix!) is de rang inderdaad ten hoogste 2, want er zijn maar twee kolommen. De kolommen, beschouwd als vectoren, zijn lineair onafhankelijk: de ene is immers geen veelvoud van de andere. De drie rijen, beschouwd als vectoren, zijn echter lineair afhankelijk.

mvg,
Tom

td
27-5-2016