WisFaq!

Lineaire onafhankelijkheid

Hallo

Waarom is het zo dat als m eigenvectoren onderling orthogonaal staan, deze een vrij deel van R^m vormen?
Dankjewel.

Mvg
Julie

Julie
7-4-2016

Antwoord

Beste Julie,

Veronderstel dat $\vec v_1 , \ldots , \vec v_m$ onderling orthogonaal zijn. De vectoren zijn lineair onafhankelijk (en vormen dus een vrij deel) als
$$\sum_ {i=1}^m c_i \vec v_i = \vec 0 \Rightarrow c_i = 0 \quad (0 \le i \le m)$$Neem een willekeurige index $0 \le j \le m$ en beschouw het inproduct
$$\left(c_1\vec v_1 + \ldots + c_m \vec v_m \right) \cdot \vec v_j = \vec 0 \cdot \vec v_j = 0$$Werk het linkerlid (distributief) uit; wat kan je concluderen over $c_j$ (en dus voor elke $c$)?

mvg,
Tom

td
8-4-2016