WisFaq!

Bewijs met volledig inductie

Goedemorgen,
Op 11 januari heb ik jullie de volgende vraag gesteld:
Bewijs met volledige inductie dat voor n element van N geldt:sum((((x+3).(x+4)^-1)x,1,n)=n/(4.(n+4)).Jullie hebben me verwezen naar de voorbeelden.Maar ik zit nu vast.Allereest heb ik n= 1 ingevuld.Bij beide vergelijkingen kom ik op 1/20.
Bij de inductiestap heb ik n+1 ingevuld:
1/(4.((n+1)+4)), na enig rekenwerk kom ik uit op
1/4-(1/n+5).Is hiermee de stelling dan bewezen?Volgens mij niet.Kunnen jullie me zeggen hoe het verder moet en wat ik fout doe?Alvast bedankt voor jullie hulp.

Met vriendelijke groeten,
Jos

Jos de Vos
20-2-2003

Antwoord

voor n=1 klopt het dus
stel å₁ⁿ1/((i+3)(i+4)) = n/(4·(n+4))

Te bewijzen:
å₁ⁿ⁺¹1/((i+3)(i+4)) = (n+1)/(4·(n+1+4))


Bewijs
å₁ⁿ⁺¹1/((i+3)(i+4)) =
å₁ⁿ1/((i+3)(i+4)) + 1/((n+4)(n+5))= n/(4·(n+4)) + 1/((n+4)(n+5))=
(1/(n+4))·{n/4 + 1/(n+5)}= (1/(n+4))·{(n(n+5))/(4·(n+5)) + 4/(4·(n+5))}=
(1/(n+4))·{(n²+5n+4)/(4·(n+5))=(1/(n+4))·{((n+1)(n+4))/(4·(n+5))=
(n+1)/(4·(n+5)) en that completes the proof !!

met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
20-2-2003