WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op woensdag 28 februari 2024

Re: Re: Mastermind (kansen)

Bedankt! Deze reactie heeft me een heel stuk verder geholpen met mijn onderzoek. Mijn redenering volgt echter dat je de kleuren mag kiezen en dat ze niet allemaal verschillend moeten zijn. Met hulp van uw redenering kwam ik dus tot de conclusie dat de kans om in de volgende beurt juist te raden nadat je in de eerste beurt twee kleuren gebruikt hebt waarvan je er elk 2 keer gebruikt en waarvan er 1 juist is en op de juiste plaats staat en 1 de juiste kleur is en op de foute plaats staat 1/846 is.

Mijn redenering volgt namelijk grotendeels die van u. De kans dat je het juiste pinnetje kiest en laat staat is 1/4. De kans dat je het juiste pinnetje met de foute plaats kiest en op de juiste plaats zet is 1/2 x 1/3 en dus 1/6.
Voor de overige twee plaatsen resten er nog 6 kleuren (mijn versie van mastermind werkt met 8 kleuren) vermits je al twee probeerde in de vorige beurt. De kans dat je deze juist raad is dus 1/6 x 1/6 (=1/36) vermits je telkens 6 mogelijkheden hebt.
De totale kans is dus 1/4 x 1/6 x 1/36 wat resulteert in 1/864.

Nu probeer ik deze redenering uit in een andere situatie. Namelijk net zoals in de vorige situatie plaatste je 2 pinnetjes van kleur 1 en 2 pinnetjes van kleur 2, maar deze keer vindt je dat 2 pinnetjes juist zijn en op de juiste plaats staan en 1 pinnetje juist is maar niet op de juiste plaats staat. Als ik de redenering van hierboven volg lijkt het mij logisch dat we de kans om in de volgende beurt de code juist te raden op deze manier kunnen berekenen:

De kans om het eerste pinnetje dat op de juiste plaats staat en de juiste kleur heeft te kiezen is 1/4. We verplaatsen dit pinnetje niet en de kans dat we dat dus volledig juist gokken is 1/4.
De kans dat we vervolgens het tweede pinnetje dat op de juiste plaats staat en de juiste kleur heeft kiezen is 1/3 vermits er nog maar 3 keuzes overblijven. Ook dit pinnetje veranderen we niet van plaats.
De kans dat we dan daarna het pinnetje kiezen dat de juiste kleur heeft en niet de juiste plaats is 1/2. Er is nog maar 1 plaats over om het pinnetje naar te verplaatsen en dus is de kans dat we dit pinnetje op de juiste plaats zetten 1/1. De kans om dus het pinnetje met de foute plaats juist te hebben in de volgende beurt is 1/2.
Vervolgens is er nog 1 plaats over die we moeten opvullen met een pinnetje. Vermits we in de vorige beurt al twee kleuren getest hebben is de kans 1/6 dat we dit pinnetje juist gokken.
De kans dat we de code in de volgende (=tweede) beurt dus juist gokken is 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1/6 en dit resulteert in 1/144.

Zit mijn redenering juist? Of vindt u ergens nog een paar fouten? Alvast heel erg bedankt voor uw eerdere hulp!!

Linde
28-1-2016

Antwoord

Hallo Linde,

Wanneer je een kleur meerdere keren mag gebruiken, wordt het ingewikkelder. Ik ga uit van 8 kleuren, en dat voor elk van de 4 posities van de geheime code de kans op elke kleur 1/8 is. Je hebt één keer geraden met twee kleuren, elk twee pinnetjes. Het blijkt dat één pin van de juiste kleur op de juiste plaats staat, één andere pin is van de juiste kleur maar niet op de juiste plaats. We zoeken de kans dat je, uitgaande van deze situatie, in één keer de juiste combinatie raadt.

Bij het werkelijke spel zou je je eerst een complete code raden, daarna krijg je te horen of deze goed is of niet. Maar de redenatie wordt overzichtelijker wanneer we na elke pin bekijken of deze goed is (en we dus door mogen gaan) of dat deze fout is (en waarbij doorgaan geen zin heeft, want we willen in één keer de juiste code raden). Een keuze die niet tot de juiste oplossing kan leiden, noem ik doodlopend, deze keuze werken we dan verder niet meer uit.

Daar gaan we:

Je raadt eerst welk pinnetje de juiste kleur en plaats heeft. Deze kleur noem ik kleur 1. De kans dat je juist hebt geraden, is 1/4. De andere tak loopt dood: wanneer je de juiste pin verandert, wordt deze met zekerheid fout. Je hebt een kans van 1/4 om door te gaan.

Vanaf dit moment loopt het anders: de beoordeling van tweede juiste kleur (maar verkeerde plaats) kan voor kleur 1 zijn of kleur 2. Beide kleuren hebben gelijke kans. Immers, alle kleuren hebben op elke positie een gelijke kans om aanwezig te zijn, het maakt niet uit of je een kleur één keer raadt of twee keer. Kortom: de kans dat je de juiste kleur kiest om te behouden, is 1/2. Kies je de verkeerde kleur om te behouden, dan loopt de tak weer dood. Je behoudt dan een kleur die verder niet in de code voorkomt. De kans om door te gaan, is dus 1/2.

Vanaf dit punt maakt het uit of je kleur 1 hebt gekozen of kleur 2:
  1. Als je kleur 2 kiest (waarbij dit goed blijkt te zijn), dan is er maar één zinnige verplaatsing. Het heeft geen zin om een pinnetje van kleur 2 op de plek te zetten waar de andere pin van kleur 2 stond. Je zet dus kleur 2 op de plaats waar de tweede pin van kleur 1 stond, dit is met zekerheid een goede kleur op de goede plaats. De niet-gekozen pin van kleur 1 en kleur 2 haal je weg.
    Resultaat tot nu toe: wanneer je nog niet op een doodlopende tak zit (kans is 1/4·1/2), dan heb je twee pinnen van de juiste kleur op de juiste plaats. Je moet dan nog 2 pinnen goed raden met gebruik van alleen de overige kleuren. Kan je dit zelf verder uitwerken?
  2. Als je kleur 1 kiest (waarbij dit goed blijkt te zijn), dan komt kleur 2 niet in de code voor. Je haalt twee pinnen van kleur 2 weg.
    Nu wordt het lastig: naast de juiste-kleur-op-juiste-plaats-pin moet je nog 3 posities vullen. Je weet dat kleur 1 minimaal één keer voorkomt, maar niet op de plaats waar deze pin al stond (dus maximaal 2 keer). Naast kleur 1 kunnen alle nog niet gebruikte kleuren voorkomen.
De verdere uitwerking hangt af van wat de vraag precies is: de keuze voor mogelijkheid 1 of mogelijkheid 2 is een vrije keuze, je kan de kans op één van deze keuzes niet berekenen. Als je willekeurig kiest, dan zijn de kansen op beide mogelijkheden natuurlijk 1/2. Maar dat lijkt me niet verstandig: zonder te rekenen ziet het ernaar uit dat de kans op succes bij mogelijkheid 1 groter is dan bij mogelijkheid 2. Wil je een zo groot mogelijke kans op succes, kies dan altijd mogelijkheid 1. Dan hoeven we mogelijkheid 2 ook niet verder uit te werken ....

Kan je hiermee verder?

GHvD
28-1-2016


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#77534 - Kansrekenen - 3de graad ASO