WisFaq!

Optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden

Beste

De opgave die ik niet begrijp luidt zo:

Wat is de maximale inhoud van een balk met zijden evenwijdig aan de x- en y-as, gelegen binnen de ellipsoïde met vergelijking x²/a² + y²/b² + z²/c² =1 met a, b en c strikt groter als nul?

Ik heb gezien dat jullie deze opgave al eens hebben besproken de uitkomst was toen :

max inhoud= 8acos(alfa)sin$\Phi$bsin(alfa)sin$\Phi$ccos$\Phi$ Maar is snap nog steeds niet hoe ik hiermee verder moet? Het is de bedoeling de opgave op te lossen met behulp van Lagrange techniek. Bovenstaande vergelijking heeft toch twee onbekenden. Ik zie ook niet in vanwaar de acht komt? Zou u mij een beetje verder op weg willen helpen aub?

Alvast bedankt
Elen

Elena
5-12-2015

Antwoord

Neem $(x,y,z)$ op de ellipsoide; de inhoud van de bijbehorende balk is $8xyz$ omdat hij $2x$ lang is, $2y$ breed, en $2z$ hoog.
De functie die je moet maximaliseren is dus $f(x,y,z)=8xyz$ en de nevenvoorwaarden is gegeven door $g(x,y,z)=0$ met $g(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1$.
Nu moet je dus oplossen $\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)$, gegeven $g(x,y,z)=0$.
Je krijg $8yz=2\lambda x/a^2$, $8xz=2\lambda y/b^2$ en $8xy=2\lambda z/c^2$.
Nu oplossen maar.

kphart
5-12-2015