WisFaq!

Kettingregelen differentieren met wortels

In mijn boek staat de vraag:
differentieer y=x³·(2-x)³
In het antwoorden boekje staat dat er
y'=(2-x)²·(6x²-4¹/₂x²x)
uitkomt, hoe komen ze aan dat antwoord, want ik heb echt geen idee.

Anne
17-2-2003

Antwoord

Je zou bij dit type opgave kunnen overwegen of het niet aan te bevelen is om het deel dat tot de derde macht moet worden genomen, 'even' uit te werken. Vermoedelijk kom je dan niet zonder meer op het gegeven antwoord, dus nu zal ik de uitwerkingsmogelijkheid negeren.

Laten we eerst even apart kijken naar de afgeleide van het haakjesdeel. Met de kettingregel erbij wordt dat:
3 . (2 - x)² . -1/(2x) (de laatste factor heb je dus aan de genoemde kettingregel te danken!)

Voor de totale functie krijg je nu de productregel op je bord. Dat gaat opleveren:

3x² . (2 - x)³ + x³ . 3 . (2 - x)² . -1/(2x).

In beide stukjes zit nu verscholen (2 - x)² en die kan daarom naar voren gehaald worden. Je krijgt:

(2 - x)² . [3x².(2 - x) - 3x³/(2x)]

Als je nu het stukje tussen de teksthaken fatsoeneert, dan zie je je antwoord staan. Bedenk dan wel dat x³/x = x^21/₂ = x²x

MBL
17-2-2003