WisFaq!

Oppervlakte cirkel en gelijkbenige driehoek

Geachte WisFaq,

Kort geleden kwam ik in aanraking met de volgende vraag:

'Wat zijn de afmetingen, exact, van de zijden van een gelijkbenige driehoek als het oppervlak van deze driehoek gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel met straal r=1?'

Dit is alles wat je dus weet:

De straal van de cirkel is 1.
De driehoek is gelijkbenig. Hierdoor zijn alledrie de hoeken gelijk en dat is dus 60°.

Dit is hoe ver ik zelf kwam:

Oppervlakte cirkel is: $\pi$·r², r=1.
Oppervlakte cirkel is: $\pi$·1²
Oppervlakte cirkel is: $\pi$·1 = $\pi$

Oppervlakte cirkel = Oppervlakte driehoek

Oppervlakte driehoek = ¹/₂·basis·hoogte

Dus:

$\pi$ = ¹/₂·basis·hoogte

Als je de gelijkbenige driehoek door tweeën snijdt, haaks op de basis. Dus de basis door de helft. Dan ontstaat er een rechthoekige driehoek. Laten we deze driehoek BCD noemen. Driehoek BCD heeft de volgende hoeken:

Hoek B: 60°.
Hoek C: 30°.
Hoek D: 90°.

Nu de oorspronkelijke driehoek door tweeën is gesplitst, moeten we het oppervlak ook door 2 delen. De oorspronkelijke oppervlakte was $\pi$. Dit verandert nu dus in $\pi$/2. Met andere woorden:
$\pi$/2 = ¹/₂·basis·hoogte·¹/₂

Dit valt ook te schrijven als:

$\pi$/2 = ¹/₄·basis·hoogte

En hier begin ik een beetje vast te lopen en zelfs te twijfelen of dit überhaupt wel mogelijk is. Want, hoe krijg ik nu die basis en die hoogte te weten. Graag als exact antwoord, mits dit mogelijk is natuurlijk.

Ik hoop dat ik hier een antwoord op kan krijgen. Bij voorbaat dank!

Met vriendelijk groet,

Juan.

Juan
12-4-2015

Antwoord

Je schrijft dat je een gelijkbenige driehoek zoekt, maar dat zal niet lukken. Of eigenlijk, dat lukt een beetje te goed. Zolang je er maar voor zorgt dat het product van basis en hoogte gelijk is aan 2p, heb je er een. Een heel lange basis compenseer je gewoon met een piepkleine hoogte.

Vermoedelijk zoek je een gelijkzijdige driehoek, temeer daar je over hoeken van 30° en 60° spreekt.
Kijk eens naar de driehoek die jij BCD noemt.
Als je AB = BC = 2z stelt, dan is BD = z en CD = z√(3)

Nu kun je de oppervlakte in z uitdrukken en dan gaat het verder wel lukken, denk ik. Zo niet, je weet ons te vinden!

MBL
12-4-2015