WisFaq!

Groepentheorie

Zou iemand me kunnen helpen dit te bewijzen? Ik geraak er niet aan uit.

Zij G een groep met Z(G) niet gelijk aan [1] van orde p². Bewijs dat de G abels is.

Alvast bedankt

Losfeld Steffi
31-3-2015

Antwoord

Maak gebruik van een paar bekende stellingen: $Z(G)$ is een ondergroep van $G$, dus zijn orde deelt die van $G$; conclusie $Z(G)$ heeft $1$, $p$ of $p^2$ elementen. Het eerste geval doet zich niet voor. Maar dan is er een $a\in Z(G)$ van orde $p$. De ondergroep $H$ voortgebracht door $a$ is een normaaldeler en een deel van $Z(G)$; de quotientgroep $G/H$ heeft $p$ elementen en is dus cyklisch. Kies $b$ zo dat $bH$ een voortbrenger van $G/H$ is. Nu kun je aantonen dat elk element van $G$ van de vorm $a^ib^j$ is en dan is het Abels zijn makkelijk te bewijzen.

kphart
1-4-2015