WisFaq!

De afgeleide

Hallo,

Ik heb een vraag over algebraïsch een afgeleide berekenen. Ik loop steeds vast op hetzelfde punt, ik zal hiervoor twee voorbeelden geven:

Voorbeeld 1:
f(x) = -¹/₂x²+2

Voor deze functie moet ik het differentiequotiënt bepalen op het interval [2, 2 + deltaX]

Dit heb ik zo aangepakt:

1. ^{f(2+deltaX)-f(2)}/_deltaX

2. ^{-0,5(2+deltaX)2+2--0,5(2)2+2}/_deltaX

3. ^{-0,5(2+deltaX)(2+deltaX)+2--0,5*4+2}/_deltaX

4. ^{-0,5(4+4*deltaX+deltaX2)+2--2+2}/_deltaX

5. ^{-2-2*deltaX-0,5*deltaX2+2--2+2}/_deltaX

6. ^{-2*deltaX-0,5*deltaX2}/_deltaX

7. -2-0,5*deltaX

Dit is uiteindelijk het goede antwoord. Ik heb hier lang over gedaan omdat ik steeds zat te hannesen met die 2-en op het einde van de teller. Ik vind het ook nogal omslachtig op die manier hoe ik nu aan het goede antwoord gekomen ben. Bij de volgende opdracht is het me nog niet gelukt om wel bij het goede antwoord te komen:

Voorbeeld 2

Het gaat om dezelfde functie: f(x) = -¹/₂x²+2

Alleen nu moet ik het berekenen voor het interval [x, x + deltaX]

Dit heb ik op deze manier geprobeerd:

1. ^{f(x+deltaX)-f(x)}/_deltaX

2. ^{-0,5(x+deltaX)2+2--0,5(x)2+2}/_deltaX

3. ^{-0,5(x+deltaX)(x+deltaX)+2--0,5x2+2}/_deltaX

4. ^{-0,5(x2+2*deltaX*x+deltaX2)+2--0,5x2+2}/_deltaX

5. ^{-0,5x2-deltaX*x-0,5*deltaX2+2--0,5x2+2}/_deltaX

6. ^{-deltaX*x-0,5*deltaX2+4}/_deltaX

7. -x-0,5*deltaX+4

Dit is dus niet het juiste antwoord, het antwoord moet zijn: -x-0,5*deltaX

Ik begrijp dus niet wat ik met die getallen aan het einde van de teller moet... Zou u dit kunnen uitleggen?

Julia
30-3-2015

Antwoord

Ik doe dit:

$
\eqalign{
& f'(x) = \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} \cr
& f'(x) = \frac{{ - \frac{1}
{2}\left( {x + \Delta x} \right)^2 + 2 - \left\{ { - \frac{1}
{2}x^2 + 2} \right\}}}
{{\Delta x}} \cr
& f'(x) = \frac{{ - \frac{1}
{2}\left\{ {x^2 + 2x \cdot \Delta x + \left( {\Delta x} \right)^2 } \right\} + 2 + \frac{1}
{2}x^2 - 2}}
{{\Delta x}} \cr
& f'(x) = \frac{{ - \frac{1}
{2}x^2 - x \cdot \Delta x - \frac{1}
{2}\left( {\Delta x} \right)^2 + \frac{1}
{2}x^2 }}
{{\Delta x}} \cr
& f'(x) = \frac{{ - x \cdot \Delta x - \frac{1}
{2}\left( {\Delta x} \right)^2 }}
{{\Delta x}} \cr
& f'(x) = - x - \frac{1}
{2}\Delta x \cr}
$

Nu jij weer!

Naschrift
Het lijkt er op dat je vergeten bent het minteken ook toe te passen voor de '+2' uit het functievoorschrift, als je begrijpt wat ik bedoel...

WvR
30-3-2015