WisFaq!

Kans om kop te gooien bij een muntstuk

Bij een 'vervalst' muntstuk is de kans om kop te gooien 2/3.
Als we dit muntstuk 50 keer opgooien, wat is dan de kans dat het totaal aantal keren dat kop gegooid werd even is?

Het antwoord zou : 1/2(1+1/3^50) moeten zijn. Maar wij hebben tot nu toe nog geen kansrekening gezien en we hadden als tip gekregen om gebruik te maken van het binomium van Newton. Dit is echter een probleem want wij weten niet hoe we dit moeten gebruiken.

C.B
17-12-2014

Antwoord

Het is een beetje getruukt maar het gaat als volgt: de gevraagde kans is gelijk aan
$$
\sum_{k\ \mathrm{even}}\left(50\atop k\right) \left(\frac23\right)^k \left(\frac13\right)^{50-k}
$$
(binomiale verdeling met succeskans $\frac23$), it getal noemen we $P$.
De som van de andere termen noemen we $Q$, dus
$$
Q= \sum_{k\ \mathrm{oneven}}\left(50\atop k\right) \left(\frac23\right)^k \left(\frac13\right)^{50-k}
$$
Dan geldt natuurlijk $P+Q=1$ (het is de totale kans).
Met behulp van het binomium van Newton kun je uitrekenen dat
$$
P-Q = \left(\frac23-\frac13\right)^{50} = \left(\frac13\right)^{50}
$$
(schrijf maar uit).
Nu kun je $P$ en $Q$ makkelijk bepalen.

kphart
17-12-2014