WisFaq!

Fourier transformatie en het convolutieproduct

Hallo wisfaq,

Zij F(w) de Fourier transformatie van de functie f(t)

F(w)=(w+1)*(e^i(w+1))/[(w²+2w+5)²]

Ik wil graag f(t) bepalen. In voorbeelden heb ik gezien dat je F(w) op een handige manier als product moet schrijven en vervolgens het convolutieproduct moet gebruiken.

F(w)=(w+1)e^i(w+1)/[(w+1)²+4]=?=g(w)*h(w)

voor zekere g(w) en h(w). Dan moet ik m.b.v. de Fouriertransformatie formules g(t) en h(t) vinden.
Vervolgens moet ik het convolutieproductie nemen van g(t) en h(t).
Maar het lukt mij niet om g(w) en h(w) te bepalen. Als ik naar de lijst met Fouriertransformaties, de algemene regels en speciale functies, kijk zie ik niet wat g(w) en h(w) zouden kunnen zijn.

Vriendelijk groeten,

Viky
Vriendelijke groeten,

Viktoria

viky
12-11-2014

Antwoord

Je zou eerst wat voorbereidend werk kunnen doen: $F(\omega)=G(\omega+1)$, waarbij
$$
G(\omega)=\frac{\omega e^{i\omega}}{(\omega^2+4)^2}
$$
dus als je $g(t)$ bij $G(\omega)$ gevonden hebt geldt $f(t)=e^{it}g(t)$.
Bij
$$
H(\omega)=\frac{\omega }{(\omega^2+4)^2}
$$
hoort een functie $h(t)$ en dan $g(t)=h(t-1)$.
Ten slotte kun je nog naar
$$
K(\omega)=\frac{1}{(\omega^2+4)^2}
$$
kijken. Als $k(t)$ bij $K$ hoort, dan hoort $k'(t)$ bij $-i\omega K(\omega)$, dus $i\times k'(t)$ bij $\omega K(\omega)=H(\omega)$, en dus $h(t)=i\times k'(t)$.
Nu is $K(\omega)$ een kwadraat en dus $k(t)$ een convolutiekwadraat.

kphart
12-11-2014