WisFaq!

Limiet met logaritme in de noemer

Hoi, ik kom niet uit deze oude tentamenvraag, zouden jullie mij kunnen helpen met een goede uitleg van de stappen.

Lim x$\to$0 ( e^2x2 + sin(x²) - (1+x²)³ ) / log(1+x⁴)

Laurens van Zundert
29-10-2014

Antwoord

Beste Laurens,

Een geschikte aanpak lijkt me om stukjes Taylorreeks (rond x = 0) te gebruiken, hebben jullie die methode behandeld? Rond x = 0 geldt:

$\begin{array}{ll}
e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+ \ldots & \Rightarrow e^{2x^2} \approx 1+2x^2+2x^4 \\
\sin x = x-\frac{x^3}{6} + \ldots & \Rightarrow \sin x^2 \approx x^2 \\
\log(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\ldots & \Rightarrow \log(1+x^4) \approx x^4
\end{array}$

Termen in orde hoger dan $x^4$ heb ik verwaarloosd. Op die manier kan je ook $(1+x^2)^3$ nog benaderen door $1+3x^2+3x^4$.

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x^2}+\sin x^2-(1+x^2)^3}{\log(1+x^4)}$$
Kan je deze benaderingen in bovenstaande limiet vervangen en vereenvoudigen? Het resultaat volgt dan onmiddellijk: de limiet is -1.

mvg,
Tom

td
30-10-2014