WisFaq!

Dimensie bij fractalen

Bij fractalen is er een speciale dimensie. Elke fractaal heeft een eigen dimensie maar bijvoorbeeld om de driehoek van sierpinski te maken vertrekken ze vanuit een driehoek in 2 dimensionaal. Hoe kan het dan dat de driehoek van Sierpinski 1.585 wordt dus niet meer twee dimensionaal.

Bert Jansens
22-5-2014

Antwoord

Beste Bert,

Zoals je wellicht weet, ontstaat de driehoek van Sierpinski door te vertrekken van een driehoek en de centrale driehoek die ontstaat door de middens van de drie zijden te verbinden, te verwijderen. Dit proces herhaal je in een volgende stap voor elke overblijvende driehoek.

Om iets over de dimensie te vertellen, is het nuttig om dimensie van 'gewone meetkunde objecten' (geen fractalen) op een bepaalde manier te bekijken:

• als je de 'zijde' van een lijnstuk halverwege splitst, ontstaan er twee (kleinere) lijnstukken,
• als je de vier zijden van een vierkant in twee verdeelt, ontstaan er vier (kleinere) vierkanten,
• als je de acht ribben van een kubus in twee verdeelt, ontstaan er acht (kleinere) kubussen.

Het patroon is als volgt: door 'zijden' in twee te verdelen, ontstaan er bij deze drie objecten respectievelijk $2^1=2$, $2^2=4$ en $2^3=8$ kopieën van het oorspronkelijke object. Die exponent komt overeen met de gewone dimensie: eendimensionaal voor het lijnstuk, tweedimensionaal voor het vierkant en driedimensionaal voor de kubus.

Op deze manier kun je de dimensie $d$ dus zien als het getal met de volgende eigenschap: als je voor een object elke 'zijde' in twee verdeelt, dan onstaan er $2^d$ (kleinere) kopieën van dat object.

Bij een driehoek: als je in elke stap gewoon de drie zijden in twee verdeelt om vier kleinere driehoeken te creëren (je verwijdert de middelste driehoek dus niet!), dan krijg je net zoals bij het vierkant dimensie 2, want er ontstaan $2^2 = 4$ driehoeken.

Terug naar de driehoek van Sierpinski: hier wordt de middelste driehoek steeds verwijderd, waardoor er in elke stap per driehoek geen 4, maar slechts 3 nieuwe driehoeken ontstaan. De 'dimensie' van dit object is dan het getal $d$ zodat $2^d = 3$ waaruit $d = \log_2 3 \approx 1{,}585$.

mvg,
Tom

td
23-5-2014