WisFaq!

Verhouding diagonalen koordenvierhoek

Hallo, ik dacht een aardig probleem:
Diagonale p en q van koordenvierhoek ABCD.
Zijdes AB=a BC=b CD=c AD=d
We weten:
pq = ac+bd
p:q = (ab+cd):(ad+bc).
Dit laatste probeer ik juist te bewijzen via de oppervlakte ABCD.
=$>$ p:q = (hoogtelijn uit A + hoogtelijn uit C):
(hoogtelijn uit B + hoogtelijn uit D).
Hoe nu de hoogtelijnen uit te drukken in de zijdes koordenvierhoek ?

Jan
28-1-2014

Antwoord

Herman,
Een bewijs gaat als volgt:
Oppervl. vierhoek=¹/₂absinB+¹/₂cdsinD=¹/₂adsinA+¹/₂bcsinC.Nu is sin D=sinB en sinC=sinA. Verder is AC=p=2RsinB en BD=q=2RsinA.Dus p/q=sinB/sinA en het gevraagde volgt met het voorgaande.

kn
29-1-2014