WisFaq!

Re: Re: Integraal van 1/(1-x²) bepalen

Beste

Maar u stelde toch eerst u=1+x?
Ik ben niet helemaal meer mee.

laura
5-1-2014

Antwoord

Hoi,

In het oorspronkelijke antwoord op deze pagina stond $\int \frac{1}{-u+2} du = - \ln |2 - u|$, waarbij ik hierna de $u$ had vervangen door $1 + x$.
Om aan te tonen dat $\int \frac{1}{-u+2} du = - \ln |2 - u|$, had ik in het vorige antwoord de oorspronkelijke integraal vervangen door $\int \frac{1}{-x+2} dx$ (in feite speelt $x$ nu de rol van $u$, als je hierna bij deze primitieve de $x$ weer vervangt door $u$ krijg je hetzelfde antwoord als eerst).

Als je integreert naar x, wordt de primitieve uitgedrukt in x. Als je integreert naar u, wordt de primitieve uitgedrukt in u. Maar ik kan me voorstellen dat het in dit geval verwarrend kan werken.

Misschien was het duidelijker geweest als ik een nieuwe substitutievariabele $k$ had geïntroduceerd?

$\int \frac{1+x}{(1-x)(1+x)}dx$ substitueer $u(x) = 1+x$ dan is $\frac{du}{dx}=1$ en dus $du = dx$. Dan wordt de integraal $\int \frac{u}{(-u + 2) \cdot u}du = \int \frac{du}{-u + 2}$.
Bij $\int \frac{1}{-u + 2} du = \int \frac{1}{2 - u} du$ zou ik dan bijvoorbeeld $k(u) = 2 - u$ en dus $\frac{dk}{du} = -1$, waaruit volgt $du = -dk$ en dus $\int \frac{1}{2 - u} du = \int \frac{-dk}{k} = - \int \frac{dk}{k} = -\ln|k| = -\ln|2 - u|$ en $ u(x) = 1 + x$ dus $-\ln|2-(1+x)| = -\ln|1-x|$.

Hopelijk is het zo iets duidelijker geworden.

PS In dit geval kun je voordat je de primitieve gaat bepalen reeds vereenvoudigen, waardoor het niet nodig is om twee maal te substitueren. Zie bijvoorbeeld dit antwoord.

Davy
5-1-2014