WisFaq!

Integraal

We hebben een pad beta met:
beta:[0,2]$\rightarrow$C met beta(t):= 1+t(-i-1) als t in [0,1]
en beta(t):=1-t+i(t-2) als t in [1,2]
Nu willen we berekenen:
int_beta 1/z dz.
Ik dacht we nemen de twee gevallen apart.
beta'(t)=(-i-1) als t in [0,1]
beta'(t)=(-1+i) als t in [1,2]
Eerst de integraal van 0 tot 1 van (-i-1)/(1+t(-i-1)=ln[1+t(-i-1)]=ln(-i)-ln(1)=ln(e^pi·i)-ln(e⁰)=pi·i
Nu de integraal van 1 tot 2 van (-1+i)/(1-t+i(t-2))=ln[1-2i+t(-1+i)]=ln[-1]-ln[-i]=ln[e^(pi·i)]-ln[e^(1.5·pi·i)=pi·i-1.5·i=-0.5·pi·i.
De beide integralen optellen levert dus 0,5pi·i.
Maar ik weet dat het antwoord moet zijn -pi·i. Waar gaat het fout?

Roos
31-10-2013

Antwoord

Je gaat de verkeerde kant op (en je eerste $\ln(-i)$ is fout); je moet je logaritme zo definieren dat hij alles netjes aansluit: je wilt $\ln 1=0$ en daarna ga je met de klok mee naar $-i$; dan moet je wel $\ln(-i)=-\frac12\pi i$ kiezen (en zeker niet $\pi i$ want $e^{\pi i}=-1$); dan ga je verder naar $-1$ en zo wordt je gedwongen $\ln(-1)=-\pi i$ te kiezen (en niet onderweg ook nog $\ln(-i)$ veranderen in $\frac32\pi i$, de keuze hierboven ligt vast). Dan klopt alles netjes: eerste integraal: $-\frac12\pi i-0$, tweede integraal: $-\pi i-(-\frac12\pi i)$, samen geeft dat $-\pi i$.
Moraal: definieer je logaritme goed.

kphart
31-10-2013